Controllabilità

Controllabilità, in ambito di teoria dei sistemi, indica la possibilità di guidare lo stato di un sistema dinamico da uno stato iniziale a uno stato finale entro un intervallo di tempo finito tramite una legge di controllo. In pratiche ingegneristiche, la nozione è centrale per progettare controllori capaci di effettuare transizioni desiderate del sistema.

Per sistemi lineari tempo invarianti (LTI) descritti in forma continua x'(t) = A x(t) + B u(t) o in forma discreta x_{k+1} = A x_k + B u_k, il criterio di Kalman fornisce una condizione computabile di controllabilità. Il sistema è controllabile sul periodo [0, T] se e solo se la matrice di controllabilità [B, AB, A^2B, ..., A^{n-1}B] ha rango pari a n, dove n è la dimensione dello stato. Una versione continua è equivalente a una condizione sul rango della matrice di controllabilità.

Un altro modo di valutare la controllabilità è tramite la Gramiana di controllabilità. Per sistemi continui, W_c = ∫_0^T e^{A t} B B^T e^{A^T t} dt è positiva definita se e solo se il sistema è controllabile su [0, T]. Per sistemi discreti, la Gramiana è W_d = ∑_{k=0}^{n-1} A^k B B^T (A^T)^k; anche in questo caso la positività implica controllabilità.

Esiste una forte dualità tra controllabilità e osservabilità: spesso si parla di coppie (A, B) controllabili e di dualità con (A^T, C^T) osservabile. Se un sistema non è controllabile, alcune direzioni dello stato non possono essere rese dinamicamente arbitrarie, limitando la possibilità di progettare controllori completi.

Gli ambiti di applicazione includono veicoli autonomi, robotica, elettronica di potenza e sistemi industriali, dove la verificata controllabilità guida la progettazione di controllori, la riduzione del modello e l’analisi della stabilità sotto azione di ingressi.