Cauchyfördelade

Cauchyfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning med densitet f(x; x0, γ) = (1/π) · γ / ((x - x0)^2 + γ^2), där x0 är platsparametern och γ > 0 är skalfaktorn. Den standardiserade formen har x0 = 0 och γ = 1, dvs f(x) = 1/[π(1+x^2)]. Den kumulativa fördelningsfunktionen är F(x) = (1/π) arctan((x - x0)/γ) + 1/2.

Egenskaper: Cauchyfördelningen har mycket tunga svansar och saknar definierade första och andra ögonblicket; medelvärde och varians existerar inte. Median och läge är lika med x0, och modalvärdet är också x0. Distribitionen är en stabil fördelning med stabilitetsparameter α = 1; summan av oberoende Cauchy-fördelade X1 och X2 är också Cauchy med läge x1 + x2 och skala γ1 + γ2.

Samband: Om X och Y är oberoende standardnormalfördelade, så att X/Y följer standard Cauchy. Användning: på grund av de tunga svansarna används Cauchy i teoretiska exempel inom robust statistik och i problem där ögonblicken inte är väldefinierade. Förekommer också i teoretiska konstruktioner och som modell för ratiosituationer i olika sammanhang.