Cartesianproduktet

Cartesianproduktet, eller kartesiske produkt, er en operation i mængdelære, der danner et nyt sæt ud fra to eller flere mængder ved at kombinere alle mulige ordnede tuples, hvor hvert element i tuplet kommer fra den tilsvarende mængde. For to mængder A og B bete n es deres kartesiske produkt som A × B og består af alle par (a,b) med a ∈ A og b ∈ B. For tre mængder A, B og C dannes A × B × C, og i almindelighed A1 × A2 × … × An er mængden af ordnede n-tupler (a1,…,an) med ai ∈ Ai.

Et vigtigt forhold er, at ordene er ordnede, hvilket betyder, at (a,b) og (b,a) normalt ikke er det samme, medmindre A = B og a = b. Hvis en af mængderne er tom, bliver produktet tomt. Antallet af elementer i det kartesiske produkt er produktet af antallet af elementer i de enkelte mængder: |A×B| = |A|·|B| og generelt |A1×…×An| = ∏i |Ai| for endelige mængder.

Eksempel: Lad A = {1,2} og B = {x,y}. Så A × B = {(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)}.

Anvendelser omfatter beskrivelse af koordinatsystemer i geometri, definering af relationer og grafen for en funktion, som er en delmængde af A × B, og konstruktion af rum i topologi gennem produktet af rum. I datalogi bruges kartesiske produkter til at udtrykke kombinationer af data på tværs af flere dimensioner.