Célfüggvények

Célfüggvények olyan függvények, amelyek egy döntési változók halmazán értékelik egy adott problémában elérni kívánt célt. Általában f(x) valós értéket ad, ahol x a döntési változók vektora. A cél az, hogy ezt az értéket minimalizáljuk vagy maximalizáljuk, attól függően, hogy költséget, kimenetet vagy hasznot szeretnénk-optimalizálni. A célfüggvény és a megvalósítható halmaz (feasible set) együtt definiálja az optimalizálási problémát.

Formálisan egy tipikus probléma: find x a X- ben vagyunk, ahol X a feltételek által meghatározott megvalósítható halmaz, és cél f(x) ≤/≥ értéket ér el. Gyakori megközelítés a lineáris programozás, ahol f(x) lineáris, például f(x) = c^T x, és a feltételek is lineárisak. Nemlineáris problémák esetén f lehet konvex vagy nem konvex; konvex esetben a konvex megvalósítható halmazban a lokális minimum globális minimumot jelenthet.

Konzisztens fogalmak között szerepel a differentiálhatóság és a gradienstípusok: differentiálható f esetén a gradenszakasz vagy gradiensek alapján iteratív algoritmusok (például sima gradiensek, subgradientek nondifférenciált esetben). Több célú problémákban több célt is figyelembe veszünk, és a Pareto-optimalitás (nem lehet egy célértéket javítani egy másik rovására) a gyakori elv. Ezzel együtt gyakran alkalmaznak scalarization módszereket, például súlyozott összeg vagy lexikografikus rangsorolás.

Célfüggvények alapvetően meghatározzák a megoldások értelmezését és a használt algoritmusokat, ezért pontos megfogalmazásuk nélkülözhetetlen a hatékony optimalizáláshoz.