Brownmozgás

Brownmozgás a folyadékban feloldott részecskék véletlenszerű mozgását leíró matematikai modell. A jelenséget Robert Brown 1827-ben figyelte meg, amikor megfigyelte, hogy a vízben lebegő pollen szemcséi jellegzetesen véletlenszerűen mozognak. Később ezt a mozgást a molekulák termikus mozgásának tulajdonították, és ez adta a modellezés alapját.

Matematikailag a Brownmozgás a Wiener-folyamat, azaz standard Brownian motion. B0 = 0, t > s esetén Bt − Bs ∼ N(0, t − s), az útvonalak pedig majdnem biztosan folytonosak. Gyakran írják az SDE formájában: dXt = μ dt + σ dWt, ahol Wt a standard Brownian motion, μ a drift, σ a szórás.

Fő jellemzői közé tartozik, hogy a Bt eloszlása N(0, t), az időegységenkénti növekmények függetlenek és állandó eloszlásúak, az útvonalak nem differenciálhatók (folytonosak ugyan), és a quadratikus variációja t. A transition-sűrűség p(t,x) a hőegyenlet megoldása: ∂t p = (1/2) ∂xx p az egyszerű esetben.

Alkalmazások között szerepel a diffúzió leírása fizikában és kémiai folyamatok modellezése, továbbá a pénzügyi matematika alapja is: geometriai Brownmozgást használva modellezik a részvényárfolyamokat, például S_t = S_0 exp((μ − ½ σ^2) t + σ W_t), ami a Black–Scholes modell kiindulópontja. A Brownmozgás fontos kapocs a statisztikai fizikában, a diffúzióelméletben és a sztochasztikus kalkulusban.