Binäärirelaatioita

Binäärirelaatio on joukkojen välinen suhde, joka määritellään yleensä karteesisen tulon osajoukkona. Tarkastellaan kahta joukkoa, A ja B. Binäärirelaatio R joukkojen A ja B välillä on alijoukko joukosta A x B, eli R ⊆ A x B. Jokainen pari (a, b) joukosta A x B, joka kuuluu relaatioon R, tarkoittaa, että "a on relaatiossa R b:hen".

Esimerkiksi, jos A = {1, 2, 3} ja B = {a, b}, niin A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Tässä joukossa määritelty relaatio R = {(1, a), (2, b)} tarkoittaisi, että 1 on relaatiossa a:han ja 2 on relaatiossa b:hen.

Binäärirelaatioita voidaan kuvata myös graafisesti pisteinä koordinaatistossa tai matriisina, jossa rivit vastaavat joukon A alkioita ja sarakkeet joukon B alkioita. Matriisin alkio on 1, jos vastaava pari kuuluu relaatioon, ja 0 muuten.

Erityistapauksena on relaatio joukon A itsensä kanssa, eli R ⊆ A x A. Tällaisia relaatioita kutsutaan usein joukon A relaatioiksi. Niille on määritelty useita tärkeitä ominaisuuksia, kuten refleksiivisyys, symmetrisyys, antisymmetrisyys ja transitiivisuus. Nämä ominaisuudet ovat keskeisiä esimerkiksi järjestysrelaatioiden ja ekvivalenssirelaatioiden määrittelyssä matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä.