Binomiaalvalem

Binomiaalvalem ehk binomiaalne tehe kirjeldab, kuidas laieneb avaldis (a + b)^n, kui n on naturaalarv. Kui n ∈ N ja a ning b on mis tahes arvud, kehtib: (a + b)^n = ∑_{k=0}^n binom(n, k) a^{n-k} b^k, kus binom(n, k) = n! / (k!(n-k)!). Need koefitsiendid kirjeldavad kui palju iga paari astme kombinaatorid avaldist moodustavad.

Koefitsiendid binom(n, k) on ka n valikute k suurus. Nad annavad kooskõla Pascal’i kolmnurgaga ning on sümmeetrilised: binom(n, k) = binom(n, n-k). See nähtus ilmub tihti ka polünoomide koondamisel ja kombinatoorikas.

Üldine binomiaalvalem laiendub mitte ainult naturaalarvude korral. Selle kohaselt (1 + x)^α = ∑_{k=0}^∞ binom(α, k) x^k, kus binom(α, k) = α(α-1)…(α-k+1)/k! ja valem konvergeerub, kui |x| < 1. Kui α on naturaalarv, on∞-jadas posees ainult lõpplõik ja laienemine muutub lõplikuks summaks.

Rakendused hõlmavad polünoomide laienemist, tõenäosusteooriat (binomiaaljaotus) ning erinevate kombinatoorika ülesannete lahendamist. Näiteks (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 illustreerib koefitsientide süsteemi. Binomiaalvalem on fundamentaal tööriist algebras ja tõenäosusteoorias.