Bilinearitet

Bilinearitet betecknar egenskapen hos en funktion B: V × W → F att vara linjär i varje argument separat. Det betyder att för alla x1, x2 i V, y i W och skalfaktor a i F gäller B(x1 + x2, y) = B(x1, y) + B(x2, y) och B(a x, y) = a B(x, y). Samtidigt gäller B(x, y1 + y2) = B(x, y1) + B(x, y2) och B(x, a y) = a B(x, y). Denna dubbla linearitet innebär att B(0, y) = 0 och B(x, 0) = 0, och att B är helt och hållet bestämd av sina värden på ett baspar i V × W.

När F är fältet över vilket V och W är vektorrum betecknar man ofta B som en bilinear form om V = W och B tar värden i F. Exempel är den skalära produkten i R^n, som är en symmetrisk bilinear form B(u, v) = u^T v, samt den bilineära kartan R^3 × R^3 → R^3 given av kryssprodukten, som är bilinear och antisimmetrisk.

Det finns ett nära samband mellan bilineära kartor och tensorprodukten: varje bilinear karta B kan avbildas till en linjär karta V ⊗ W → F, och varje linjär karta V ⊗ W → F motsvarar en bilinear karta. Om en bilinear form B är symmetrisk, B(v, w) = B(w, v), eller antisymmetrisk, B(v, w) = -B(w, v), har den särskild betydelse inom geometri och fysik.

Användningar av bilinearitet förekommer inom optimering, fysik och differentialgeometri, där bilineära former mäter storheter som energi, vinkel eller projektionslängder.