Bildemengden

Bildemengden, eller image, er i matematikk setet med alle utfallsverdiene som en funksjon kan ta fra en gitt mengde input. For en funksjon f: X → Y og en delmengde A ⊆ X er bildemengden av A under f definert som f[A] = { f(x) | x ∈ A }. Bildemengden av hele domene X kalles ofte bilde eller rekkevidde og er en undermengde av codomene Y, nemlig f[X].

Eksempler kan illustrere begrepet tydelig. Hvis f: R → R med f(x) = x^2, er f[R] lik [0, ∞). Hvis f: R → R er f(x) = sin x, så er f[R] lik [-1, 1]. Et annet eksempel: la f: {1, 2, 3} → {a, b, c} være definert ved f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a; da er f[{1, 3}] = {a}.

Egenskaper og forhold til andre begreper: Hvis A ⊆ B, så f[A] ⊆ f[B]. Bildet av X er f[X], som kalles bildemengden eller bildet av hele funksjonen; det er ikke nødvendigvis hele codomene Y, med mindre funksjonen er surjektiv (f[X] = Y). For mål og forhånds-begreper brukes ofte preimage ( inverse image): for B ⊆ Y er f^{-1}[B] = { x ∈ X | f(x) ∈ B }.

Anvendelser: i lineær algebra er bildet av en lineær transformasjon en underrom i målmengden, og dimensjonen av bildet kalles rang. I topologi er bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon ofte også sammenhengende. Begrepet bildemengden er derfor sentralt i mange grener av matematikk.