Bijekciók

Bijekciók alatt olyan függvények értjük, amelyek doménje A, célja pedig B, és amelyek egyszerre injektív és surjektív. Ez azt jelenti, hogy minden A-beli elemhez pontosan egy B-beli elem tartozik, és minden B-elemet érint a hozzárendelésnek van előképe A-ből. Így a függvény inversa is létezik: f^{-1}: B → A olyan függvény, amely visszafordítja a hozzárendelést, és amelyre f^{-1}(f(a)) = a és f(f^{-1}(b)) = b minden a∈A, b∈B esetén. Az inversz egyedi.

A bijekciók fontos tulajdonsága, hogy kompozíciójuk is bijekció: ha f: A→B és g: B→C bijekciók, akkor g∘f: A→C bijekció, és (g∘f)^{-1} = f^{-1}∘g^{-1}. Megállapítható tehát, hogy két halmaz akkor és csak akkor van közöttük bijekció, ha azonos a kardinális számuk, azaz azonos a “méretük”.

Példák: a zárt egész számokra f(n) = n+1 egy bijekció, mert Z→Z; f(n) = 2n egy bijekció a N→2N között, ha a célt a páros számok halmazaként tekintjük. Ezek a példák szemléltetik, hogy két halmaz közötti bijekció bizonyítja azonos elemszámukat.

Használatuk: a bijekciók alapvető eszközök a halmazelméletben és a kombinatorikában, mert lehetővé teszik a halmazok közvetlen összehasonlítását és az invertálható hozzárendelések megértését.