Bijekcija

Bijekcija, u kontekstu teorije skupova i funkcija, označava funkciju između dva skupa koja je istovremeno injektivna (jedan na jedan) i surjektivna (na cijeli ciljni skup). Drugim riječima, svaki element iz domene se preslikava u jedinstveni element cilja, i svaki element cilja postoji kao slika nekog elementa domene. Takva funkcija omogućuje uspostavljanje jedne na jednu korespondenciju između elemenata dvaju skupova.

Ako je f: A → B bijekcija, tada A i B imaju istu kardinalnost, odnosno su ekvinumerični. Za konačne skupove to znači da njihov broj elemenata ima isti iznos. Za neograničene skupove, postojanje bijekcije definira jednakost kardinaliteta tih skupova.

Primjeri: identična funkcija id_A: A → A je bijekcija. Funkcija f(n) = n + 1 iz cijelih brojeva ℤ u ℤ je bijekcija jer je i injektivna i surjektivna (za svaki m postoji n = m − 1). Na drugom primjeru, funkcija g: ℕ → ℕ, g(n) = n + 1, nije bijekcija jer nije surjektivna (niti 0 nije obuhvaćen). U svakom slučaju, ako postoji bijekcija između dvaju skupova, može se definirati inversna funkcija f^{-1}: B → A, koja je također bijekcija i zadovoljna je obostrano f^{-1}(f(x)) = x i f(f^{-1}(y)) = y.

Svoje primjene bijekcije nalazimo u kombinatorici, aritmetici kardinaliteta te u teoriji grupa i permutacija, gdje se bijekcije koriste za promjenu ukusa urednosti ili za dokazivanje jednakosti veličina skupa.