Bifurkaatioanalyysi

Bifurkaatioanalyysi on dynaamisten järjestelmien tilan kvalitatiivisen muuttumisen tutkimusta parametrien muuttuessa. Siinä tarkastellaan, miten tasapainopisteet ja toistuvat tilat (limit cycle -tilat) syntyvät, muuttuvat tai menettävät kestävyyttään. Järjestelmä voidaan esittää dx/dt = f(x, p), jossa x on tilojen vektori ja p parametri.

Tasapainopisteet x* toteuttavat f(x*, p) = 0. Stabiliteetti määritellään Jacobianin J(x*, p) = ∂f/∂x. Jos kaikki ominaisarvot λi(p) ovat negatiivisia reaalilukuja, tasapainopiste on paikallisesti vakaa; kun jokin ominaisarvo siirtyy nollan yli, vakaus muuttuu. Kun parametri p muuttuu, bifurkaatio tapahtuu, kun ratkaisut f(x, p) = 0 muuttuvat rakenteeltaan (esim. tasapainopisteiden synty tai tuho) tai stabiliteetti vaihtuu.

Yleisimpiä paikallisia bifurkaatioita ovat saddle-node-, Hopf-, pitchfork- ja transcritical -bifurkaatiot. Paikallisen analyysin lisäksi käytetään normaalimuoto-teoriaa ja keskuksen reduktiota sekä numeerista jatkuvuutta, kuten arclength- tai pseudo-arclength-jatkumista, jakaen ominaisarvojen päätteiden kehityksen parametreilla.

Sovelluksia on laajasti fysiikassa, biologiassa, kemiassa ja tekniikassa: esimerkiksi rytmien synty ja muutos, tilojen hallinta parametrisäädöillä sekä epätoivottujen tilojen välttämisen suunnittelussa. Bifurkaatioanalyysi tarjoaa välineet ymmärtää, milloin ja miksi järjestelmä siirtyy erilaisiin dynamiikoihin.