Besselfunktioiden

Besselfunktioiden (Bessel-funktiot) perhe koostuu ratkaisuista Besselin differentiaaliyhtälöön x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0, jossa n on järjestysluku. Yhtälöön on kaksi lineaarisesti riippuvaista ratkaisua, joita kutsutaan Besselin funktioiksi ensimmäisen ja toisen lajin. Ensimmäisen lajin funktio J_n(x) on säännöllinen x:ään kohdatessa, kun taas toisen lajin funktio Y_n(x) (Neumannin funktio) ei ole säännöllinen x=0:n kohdalla. Kokonaislukujen n tapauksessa Y_n on erillinen funktio. Näistä kahdesta ratkaisusta muodostuu yleinen ratkaisu yhdistämällä.

Modifioidut Bessel-funktiot I_n(x) ja K_n(x) ratkaisevat vastaavan muodon muokatulla yhtälöllä x^2 y'' + x y' - (x^2 + n^2) y = 0. I_n on kasvava funktiona ja K_n entrainsaaltaan pienenevä, ja niitä esiintyy erityisesti ongelmissa, joissa esiintyy eksponentiaalinen käyttäytyminen.

Representaatiot ja ominaisuudet. J_n(x) voidaan esittää nollaa liikkeellä olevan sarjan muodossa: J_n(x) = sum_{k=0}^∞ (-1)^k (x/2)^{2k+n} / (k! Γ(k+n+1)). I_n(x) on samanlainen sarja ilman (-1)^k-merkkiä. Y_n ja K_n määritellään erillisesti, usein Neumannin funktioina ja modifioidun lajin vastineina. Besselfunktioilla on tuki useissa laskennallisissa ominaisuuksissa, kuten निर्देशissa ja rekursionssäännöissä: J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) = 2n/x J_n(x), sekä derivaatta- ja integroidenssien lajit.

Käyttötarkoitukset. Besselfunktioita esiintyy laajalti ongelmissa, joissa on pyöreä symmetria: akustisissa ja soveltavissa fysiikan ongelmissa, kuten säteittäisissä resonansseissa, pyöreän kotelon lämmön- ja diffuusioreitteissä sekä sähkökenttien ja aaltojen kulkuissa putkissa ja säteittäisissä kohtiympäristöissä. Ne ovat keskeisiä ratkaisuja sv- ja Helmholtz-tyyppisissä ongelmissa, joissa erikoisfunktioiden sarjat ja nollat määrittävät kuvion ja spektrin.