Basisvektorene

Basisvektorene er en samling vektorer som danner en basis for et vektorrom V over en kropp F. En mengde B = {v1, v2, ..., vn} er en basis hvis v1, ..., vn er lineært uavhengige og spenner over V. Det innebærer at hvert v i V kan uttrykkes unikt som en lineær kombinasjon v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn, og at koordinatene (a1, ..., an) kalles koordinatene til v i basen B.

I et endelig-dimensjonert rom har en basis n vektorer. I R^n er standardbasen e1, ..., en med e_i = (0, ..., 1, ..., 0). Når man kjenner basen, kan man representere alle vektorer ved å angis deres koordinater i den basen.

En basis kan være ortonormal hvis v_i ⋅ v_j = 0 når i ≠ j og v_i ⋅ v_i = 1 for alle i. Ortogonale og spesielt ortonormale baser gir en enkel beregning av koordinater via projektsjon. Gram-Schmidt-sekvensen brukes ofte for å konstruere en ortonormal basis fra en vilkårlig basis hvis et indreprodukt er definert.

Når man skifter basis, endres koordinatene til vektorer, selv om vektoren i V er den samme. Matematisk kan man bruke en endringsmatrise P hvis kolonner er basisvektorene i den nye basen uttrykt i standardkoordinater. Da er [v]_std = P [v]_B.

Basisvektorene har praktiske anvendelser i matematikk og anvendte fag som datagrafikk, fysikk og maskinlæring, hvor de gir det nødvendige rammeverket for å uttrykke vektorer og lineære transformasjoner på en konsekvent måte.