BDFtyypin

BDFtyyppi, or BDF-tyyppiset menetelmät, viittaa Backward Differentiation Formula -menetelmien perheeseen, joita käytetään numeerisessa integroinnissa erilaisen alkuarvoproblemien y' = f(t, y) ratkaisemiseksi. Ne ovat iän myötä kehittyneitä implisiittisiä lineaarisia monivaiheisia menetelmiä, joiden tarkoituksena on tukea jäykiä differentiaaliyhtälöitä ja tarjota stabiileja ratkaisuja pitkille väleille.

Menetelmä määritellään lineaarisella yhdistelmällä aikaseurauksesta y_n, y_{n-1}, ..., y_{n-k} sekä nykyisestä arviosta y_n koulutetussa muodossa: sum_{j=0}^k α_j y_{n-j} = h β f(t_n, y_n). BDF-tyyppisessä usein β ≠ 0 ja y_n esiintyy oikealla puolella f-funktiossa, mikä tekee ratkaisusta implisiittisen. Tämän vuoksi joka askeleen ratkaisu edellyttää epälineaarisen järjestelmän ratkaisua (yleensä Newtonin menetelmällä).

Käytetyt järjestykset vaihtelevat yhdestä kuuteen, yleisimmät ovat BDF1 (taaksepäin Euler) ja BDF2. Paremmilla järjestyksillä voidaan saavuttaa suurempi kertaluku, mutta A-stabiilisuus rajoittuu kertaluvuille: BDF-tyypit ovat A-stabunit vain järjestelmillä 1 ja 2; suuremmilla järjestyksillä ei ole samaa vaadittua stabiilisuutta.

Käyttö ja toteutus: BDF-menetelmät ovat erityisen soveliaita jäyille ODE-järjestelmille, kuten kemiallisissa reaktioissa, sähköverkojen simuloinneissa ja muissa stabiilisuutta vaativissa malleissa. Ne vaativat alusta-arvojen saannin kullekin vaiheelle (k-1 edeltäviä arvoja) ja usein aloitteen runsasasteen käyttäen pienempiä järjestelmiä tai Runge-Kutta-menetelmiä. Jokaisella askeleella ratkaistaan epälineaarinen järjestelmä, jonka ratkaisu vaikuttaa seuraaviin arvoihin. Fleksibileita käyttöönotossa on myös vaihe-koon kontrolli ja tilan estimointi, mikä mahdollistaa adaptiivisen askeleen koon hallinnan. BDF-tyyppisistä menetelmistä on laajaa kirjallisuutta ja niitä käytetään laajasti nykyaikaisissa stiff-ODE-sovelluksissa.