Automaorfismit

Automaorfismit ovat rakenneosien symmetrioita: ne ovat bijektioita S:stä S:ään, jotka säilyttävät rakenteen kaikki ominaisuudet. Toisin sanoen automorfismi f on sellainen kartoitus, että S:n perusoperaatiot ja -relaatiot pysyvät ehjinä, kun kaikki kohteet siirretään.

Lyhyesti sanoen aut(S) tarkoittaa kaikkien automorfismien joukkoa, ja se muodostaa ryhmän, kun sitä verrataan komposition avulla: identiteettifunktio on ryhmän identiteetti, ja jokaisella automorfismilla on käännöstehtävä käänteisensä kautta. Ryhmä Aut(S) kuvaa S:n symmetrioita, ja sen alaryhmiä tarkastelemalla voidaan saada tietoa rakenteen rakenteesta ja invariansseista.

Erityyppisissä rakenteissa automorfismit vastaavat erilaisia säilyviä ominaisuuksia: ryhmissä automorfismi on bijektiivinen homomorfismi G → G, rengeissä se säilyttää sekä yhdyssäännöt että ne funktiot, kentissä se säilyttää sekä additiiviset että multiplikatiiviset rakenteet, ja graafeissa automorfismi säilyttää vierekkäiset yhteydet. Graafien automorfistien joukko kuvaa graafin symmetrioita.

Esimerkkejä:

- Kertaluku C_n: Aut(C_n) noin yksinkertaisena ilmaisuna on (Z/nZ)×, eli modulo n olevien ykseyskertoimien ryhmä.

- Graafi: Neliön graafin automorfistien ryhmä on dihedraalinen D4, joka koostuu pyörimis- ja peilaussymmetriöistä.

- Kenttätason automorfismit: F_q:n automorfismit muodostavat ryhmän, joka koostuu Frobenius-kulmatarkoituksista x → x^{p^k}, q = p^f.

Automaorfismit ovat keskeisiä symmetrioiden ja invarianssien tutkimuksessa sekä isomorfianluokittelussa, koska ne paljastavat, miten rakenteen ominaisuudet säilyvät mahdollisissa muunnoksissa. Ne kattavat laajasti erilaisia rakenteita algebraa, geometriaa ja combinatoriiikkaa koskevissa konteksteissa.