Autokovarianssi

Autokovarianssi on tilastotieteessä käytettävä mittari, joka kuvaa satunnaisprosessin X_t ja X_{t+h} välillä syntyvää riippuvuutta viivalla h. Määritelmäksi voidaan käyttää gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h}) = E[(X_t - μ)(X_{t+h} - μ)], missä μ on prosessin keskiarvo. Kun prosessi on heikosti stationaarinen, gamma(h) riippuu vain viivasta h eikä ajankohdasta t, ja gamma(-h) = gamma(h).

Ominaisuuksiin kuuluu, että gamma(0) on varianssi Var(X_t), ja gamma(-h) = gamma(h). Autokovarianssi ei välttämättä ole nollasta poikkeavaa, vaikka viivan h kasvaa; monissa käytännön malleissa gamma(h) pienenee kohti nollaa. Autokovarianssin normalisoitu vastine on autokorrelaatio rho(h) = gamma(h)/gamma(0), joka kuvaa riippuvuuden voimakkuuden mittakaavassa.

Estimointi ja sovellukset: Otoksessa n havaintoa otosautokovarianssi gamma_hat(h) lasketaan tyypillisesti kaavalla gamma_hat(h) = (1/(n-h)) ∑_{t=1}^{n-h} (X_t - X̄)(X_{t+h} - X̄), jossa X̄ on otoskeskiarvo. Tämä on käytännössä yleinen tapa arvioida autokovarianssia ja autokorrelaatiofunktiota (ACVF ja ACF). Piirteet kuten gamma(h) ja sen käyrä ovat keskeisiä ajan sarjojen mallintamisessa (esim. ARIMA-mallit) sekä spektrianalyysissä, jossa autokovarianssin vastinosa liittyy tehokerroinjakoon.

Autokovarianssia käytetään muun muassa siirto- ja riippuvuuden rakenteen kartoitukseen, mallin diagnosointiin sekä signaalinkäsittelyyn.