Assosiativitet

Assosiativitet er en egenskap ved en binær operasjon i en mengde. En binær operasjon * på S er assosiativ hvis for alle a, b og c i S gjelder (a * b) * c = a * (b * c). Dette betyr at når man kombinerer tre elementer, kan man i praksis plassere parentesene ulikt uten at resultatet endres.

Dette er en sentral idé i algebra. Hvis en operasjon er assosiativ og det finnes et identitetselement e slik at e * a = a * e = a for alle a i S, blir (S, *) en monoid; hvis hvert element har en invers, blir det en gruppe. Assosiativitet gjør det mulig å evaluere lange uttrykk uten å måtte angi nøyaktig hvor parentesene skal plassere første gang.

Eksempler på assosiative operasjoner:

- Addisjon av tall: (a + b) + c = a + (b + c).

- Multiplikasjon av tall: (a · b) · c = a · (b · c).

- Streng-konkatenasjon: (xy)z = x(yz), altså ordnet blir like uansett hvordan man grupperer.

Ikke-eksempler:

- Subtraksjon: (a − b) − c ≠ a − (b − c) i de fleste tilfeller.

- Divisjon: (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) i allmenn praksis.

- Eksponentiering: (a^b)^c ≠ a^(b^c) i generelle tilfeller.

Betydning: Assosiativitet tillater omgruppering av operasjoner når man behandler uttrykk med mange ledd, og legger grunnlaget for kjernedeler av moderne algebra og datastrukturer der kombinasjonsordningen ikke påvirker sluttresultatet.