Assosiatiiviset

Assosiatiivisuus on matemaattinen ominaisuus, joka koskee binääristä operaatiota. Se tarkoittaa, että ryhmittely tai tapa, jolla kolme alkiota yhdistetään, ei vaikuta tulokseen. Jos tarkastelemme operaatiota * joukossa A, assosiatiivisuus tarkoittaa, että a*(b*c) = (a*b)*c kaikille a, b ja c ∈ A.

Esimerkkejä assosiatiivisuudesta ovat yhteen- ja kertolasku todellisten lukujen joukossa sekä matriisialgebrassa. Esimerkiksi 2+(3+4) = (2+3)+4 ja 2*(3*4) = (2*3)*4. Lisäksi joukko-opin operaatioissa unioni ja leikkaus ovat assosiatiivisia: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ja A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. Funktioiden koostaminen on myös assosiatiivista: f∘(g∘h) = (f∘g)∘h.

Ei kaikki operaatiot ole assosiatiivisia. Esimerkiksi vähennys ja jakaminen eivät ole: (5-3)-2 = 0, mutta 5-(3-2) = 4.

Assosiatiivisuus liittyy läheisesti rakenteisiin, kuten semigroupeihin ja monoidiin. Jos operaatio on assosiatiivinen ja joukossa on identiteettialkio, kyseessä on monoid; jos jokaisella alkiolla on käänteisalkio, se on ryhmä. Näitä rakenteita hyödynnetään laajasti algebraan ja teoreettiseen tietojenkäsittelytieteeseen. Käytännössä assosiatiivisuus mahdollistaa laskutoimitusten uudelleenjärjestelyn ja rinnakkaislaskennan sekä helpottaa ohjelmointia ja optimointia.