Antiderivaatta

Antiderivaatta eli primitiivinen funktio on funktio F, jonka derivaatta on toinen funktio f. Toisin sanoen F' = f. Merkitään ∫ f(x) dx = F(x) + C, jossa C on vakio. Antiderivaattoja ei yleensä määritellä ilman vakioarvoa, sillä kaikki ratkaisut eroavat suuresti vain lisävakiolla.

Riippuen f:n ominaisuuksista, antiderivaattoja on olemassa. Jos f on jatkuva jollain välillä I, sillä on antiderivaatta I:ssa. Tämä liittyy laskennan perustotuuksiin: jos valitsemme pisteen x0 I:ssä ja määrittelemme F(x) = ∫_{x0}^x f(t) dt, saadaan F, jonka derivaatta on f.

Jos F on f:n antiderivaatta, niin jokaiselle arvojen a ja b välillä ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Tämä on osa toista osaa fundamental-lakien todistusta: derivointi ja integrointi ovat käänteisiä operaatioita.

Esimerkiksi f(x) = x^n (n ≠ -1) antiderivaatta on F(x) = x^{n+1}/(n+1) + C, ja f(x) = 1/x antiderivaatta on F(x) = ln|x| + C. Lineaarisuus pätee: jos F1 ja F2 ovat f1:n ja f2:n antiderivaattoja, niin aF1 + bF2 on af1 + bf2:n antiderivaatta. Kaikki antiderivaatat eroavat yhdellä vakioarvolla.

Käytännössä antiderivaattoja käytetään muun muassa epämuodostuneiden integraalien laskemiseen, käyrien käyttäytymisen analysointiin ja sovelluksissa kuten kertymien sekä pinta-alueiden määrien ratkaisemiseen.