Alijärjend

Alijärjend, inglise subsequence, on järjendi alamhulk, mille elemendid on säilitanud algse järjekorra. Täpsemalt: kui a_n on järjend ja b_m on teine järjend, siis b_m on alijärjend (a_n), kui on kasvav indeksijada n_1 < n_2 < ... ning iga m korral b_m = a_{n_m}. Alijärjendeid võib olla lõpmatult palju; originaalse järjendi korral võib alijärjend olla lõpmatu või lõplik.

Näide: kui a_n = n, siis alijärjend b_m = a_{2m} = 2m annab 2, 4, 6, …. Teine näide: valides indeksid n_m = m, saame algse järjendi a_n = n uuesti.

Oluline omadus on seos lähenduse (konverentsi)ga: kui järjend a_n konvergeerub L-ile, siis iga alijärjend konvergeerub samuti L-ile. See tuleneb sellest, et olemas on N nii, et n ≥ N korral |a_n - L| < ε, ja iga alijärjend, mille indeksid kasvavad, jõuab vähemalt N-i lõppu.

Rakendused ja tähtsus: alijärjendeid kasutatakse analüüsis ja matemaatilises loogikas, näiteks konvergensi omaduste veenmiseks ja tehtega seotud tõestustes. Bolzano–Weierstrass'i teoreem, mis väidab, et iga piiratud lõpmatu järjendiga kaasneb konvergeeruv alijärjend, on selle kontseptsiooni keskne alus. Alijärjendid võimaldavad mõista käitumist, kui valitud järjestus muutub või kui piirid puuduvad.