Algväärtuste

Algväärtus ehk eigenväärtus on ruutmaatriksi A jaoks selline arv lambda, et leitakse mitte-nuli vektor v, mille korral Av = lambda v. Sellist v nimetatakse vastavaks algväärtuse vektoriks. Algväärtused kirjeldavad, kuidas maatriksi esindatud lineaarne maatriks toimib koos skaleerimisega.

Algväärtused leitakse lahendades charakteristlikku polünoomi det(A − λI) = 0. Selle polünoomi juured on maatriksi algväärtused. Reaalse maatriksi korral võivad algväärtused olla reala või komplekssed ja komplekssed väärtused esinevad paaridena (λ, λ̄). Maatriks võib olla mitte-kui: eigenväärtuste arv ja multiplicatsioonid on seotud maatriksi struktuuri ja dimensiooniga.

Omadused: Algväärtuste summa võrdub maatriksi jäljega (trace(A) = ∑ λi) ja nende korrutis determinantiga (det(A) = ∏ λi). Maatriks on samaaegne pidev töö riivimiseks: kõik algväärtused ei ole tingimata erinevad. Geomeetriline korrutis on laienevuste dimensioon vähene. Maatriks on diagonoogiline, kui on n eraldi lineaarset sõltumatut algväärtuse vektorit. Eriti tugev on reaalsi sümmeetriliste maatriksite omadus: nende algväärtused on reaalseteks ja neid saab valida ortogonaalseteks vektoriteks.

Arvutamine: numeriline leidmine toimub tavaliselt karakteristliku polünoomi lahendamisega või järkjuliste algoritmidega nagu QR-algoritm, võimendusmeetod (power method) ja inversa-meetod. Erinevad meetodid sobivad eri maatriksite tüüpide jaoks.

Rakendused: peamised on PCA ja andmete vähendamine, stohhastiliste protsesside stabiilsusanalüüs, mehhaaniliste ja võrguprotsesside sagedus- ning vibraamtekstid ning PageRanki ja muud kaardid, mis põhinevad stohhastilise maatriksi algväärtustele. Näide: A = [[2,1],[0,3]] puhul algväärtused on 2 ja 3.