Aksioomajärjestelmiä

Aksioomajärjestelmiä, suomeksi aksioomajärjestelmät, ovat kokoelma perusväittämiä, joita kutsutaan aksioomiksi, ja joukko päättelysääntöjä, joiden avulla näistä aksioomista voidaan johtaa uusia väittämiä, teoremia. Nämä järjestelmät ovat keskeisiä monilla matematiikan ja logiikan aloilla, tarjoten muodollisen perustan teorioiden rakentamiselle. Aksioomat oletetaan tosiksi ilman todistusta ja niiden tarkoituksena on olla mahdollisimman yksinkertaisia ja itsestäänselviä. Päättelysääntöjä käytetään sitten loogisesti yhdistämään aksioomia ja jo todistettuja teoreemeja uusien teoreemien muodostamiseksi. Tavoitteena on luoda konsistentti ja kattava järjestelmä, jossa kaikki todistettavat väittämät voidaan johtaa aksioomista.

Esimerkiksi Eukleideen geometriassa on joukko aksioomia, kuten väittämä siitä, että kahden pisteen välille voidaan piirtää suora viiva. Näistä aksioomista ja muutamasta postulaatista johdetaan kaikki geometriset teoreemat. Logiikassa formaalit aksioomajärjestelmät ovat perusta propositio- ja predikaattilogiikan tutkimukselle. Matematiikan eri aloilla, kuten joukko-opissa ja aritmetiikassa, käytetään omia aksioomajärjestelmiään, kuten Zermelo-Fraenkelin aksioomajärjestelmää joukko-opissa. Aksioomajärjestelmien tutkimukseen kuuluvat myös niiden ominaisuudet, kuten täydellisyys (kyky todistaa kaikki järjestelmän sisällä olevat totuudet) ja ristiriidattomuus (järjestelmä ei sisällä ristiriitaisia väittämiä). Gödelin epätäydellisyyslauseet ovat merkittäviä tuloksia, jotka osoittavat, että riittävän monimutkaiset aksioomajärjestelmät eivät voi olla samanaikaisesti sekä täydellisiä että ristiriidattomia.