Aikadifferentiaaliyhtälöt

Aikadifferentiaaliyhtälöt ovat matemaattisia malleja, joissa tuntemattomana riippuvaisena muuttujana on aika t ja joissa suure x(t) muuttuu ajan funktiona. Ne kuvaavat dynamiikkaa ja ilmiöitä, joissa tila kehittyy ajan kuluessa ja jossa voimat tai prosessit määrittävät kehityksen suunnan.

Yleisimmät muodot ovat ensiksi ensimmäisen kertaluvun yhtälö dx/dt = f(t, x), jossa on alkuehto x(t0) = x0; sekä toisen kertaluvun yhtälö d^2x/dt^2 = g(t, x, dx/dt). Lineaariset aikadifferentiaaliyhtälöt ovat muotoa a_n(t) d^n x/dt^n + ... + a_0(t) x = b(t). Ne voivat olla homogeenisia (b(t) = 0) tai ei-homogeenisia; ne voivat käsitellä yhtä tai useampaa muuttujaa.

Ratkaisun käsite riippuu alkuehdosta: x(t0) = x0. Ongelma voi olla ratkaistavissa analyyttisesti joissain malleissa, mutta useimmiten ratkaisut ovat ei-analyyttisiä ja ne syntetisoidaan numeerisesti tai likimääräisesti.

Analyyttiset menetelmät sisältävät muuttujien erottelun, integroinnin kertoimella sekä lineaaristen aikadifferentiaaliyhtälöiden perusratkaisumenetelmät; lisäksi käytetään Laplace-muuntoja sekä muita transformaatiomenetelmiä.

Numeeriset menetelmät, kuten Eulerin menetelmä ja Runge–Kutta -menetelmät, mahdollistavat ratkaisun laskemisen tiloittain pienin askelin, kun analyyttista ratkaisua ei ole saatavilla. Vakauden ja stabiilisuuden analysointi on tärkeää etenkin epälineaarisissa malleissa.

Sovelluksia ovat fysiikka ja mekaniikka, sähköverkot, biologia ja populaatiomallit, lääketieteelliset prosessit, kemialliset reaktiot sekä taloustieteelliset dynamiikka- ja kasvumallit.