Aikaderivaatioarvojen

Aikaderivaatioarvo kuvaa, miten suure q muuttuu ajassa. Jos q = q(t) on funktio ajan mukaan, sen aikaderivaatio merkitään dq/dt ja se antaa suureen hetkellisen muutoksen nopeuden ajan suhteen.

Esimerkkejä: paikkamittaus x(t) on suure, joten sen aikaderivaatio on nopeus v(t) = dx/dt. Toiseksi aikaderivaatio on kiihtyvyys a(t) = dv/dt. Jos x(t) = A sin(ωt), dx/dt = A ω cos(ωt). Jos q on vektorifunktio r(t), aikaderivaatio on v(t) = dr/dt ja kuvaa liikkuvan kappaleen nopeuden.

Monimutkaisemmissa tilanteissa, joissa q riippuu useammista ajassa muuttuvista qi:sta, kokonaisderivaatio on dq/dt = ∂q/∂t + ∑i (∂q/∂qi)(di/dt). Tämä on ketjusääntö, jolla voidaan ottaa huomioon, miten muut tilanmuuttujat vaikuttavat q:n muutokseen ajan mittaan.

Käytännössä aikaderivaatioarvoja lasketaan sekä analyyttisesti että numeerisesti. Analyyttisesti derivoidaan perusderivaattoja ja sovelletaan ketjusääntöä; numeerisesti arvoa voidaan arvioida finite difference -menetelmällä, esimerkiksi (q(t+Δt) - q(t))/Δt. Aikaderivaatioarvot ovat keskeisiä fysiikassa, mekaniikassa, sähkötekniikassa ja dynaamisten järjestelmien mallinnuksessa, joissa ne kuvaavat järjestelmän nopeutta, kiihtyvyyttä ja yleistä aikaisesta muutoksesta.