Afleiðingin

Afleiðingin af falli f er mæling á hraða breytingar þess. Hún er skilgreind sem f′(x0) = lim_{h→0} (f(x0 + h) − f(x0)) / h, ef slíkt takmark er til staðar. Afleiðingin gefur hraða breytingarinnar við x0 og er einnig talin halli tangents línu sem liggur við grafið y = f(x) í x0.

Algengt er að nota f′(x) eða dy/dx til að tákna afleiðinguna. Afleiðingin gefur hallann á tangentslínunni við grafið y = f(x) í x. Ef f′(x) > 0 vex gildi fallsins með x, ef f′(x) < 0 minnkar það, og ef f′(x) = 0 getur verið vendipunkt eða stöðvun í breytingunni.

Helstu reglur afleiðingar eru þessar: afleiðing margra margra hluta er samlagning reglunnar (f + g)′ = f′ + g′ og hluta afleiðingar fyrir margföldun (a f)′ = a f′; afleiðingin af margföldu falli er reglan fyrir margfeldi f g: (f g)′ = f′ g + f g′. Afleiðing samsetingar (f ∘ g)′(x) = f′(g(x)) · g′(x) kallast samsetningarregla. Dæmi: (x^n)′ = n x^{n−1}, (sin x)′ = cos x, (e^x)′ = e^x.

Öfuleiðirnar: f′′(x) er afleiðingin af f′(x); þannig er hægt að tala um fleiri stig afleiðinga. Val á táknum fer oft eftir samhengi; Newtons tákn (t.d. ẋ fyrir tímaafleiðingu) er einnig notaður í vissum kerfum.

Tilvist og takmarkanir: fall f þarf að vera afleiðanlegt í punktinum til þess að afleiðingin sé til. Afleiðingar eru ekki endilega til á öllum stöðum (t.d. |x| hefur ekki afleiðingu við x = 0). Afleiðingar gegna mikilvægu hlutverki í hreyfingu, stærðfræði, eðlisfræði og hagfræði. Taylor-erting og nálganir byggjast að hluta á afleiðingum til að meta breytingar nær punktinum a.