Aaltifunktiot

Aaltifunktiot ovat matemaattisia funktioita, joita käytetään kuvaamaan aaltoilevia ilmiöitä matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa. Ne kuvaavat toistuvia, ajassa tai tilassa esiintyviä värähtelyjä, ja niille voidaan määritellä amplitudi, taajuus ja vaihe. Yksinkertaisimmat esimerkit ovat trigonometriset funktiot kuten sin(ωt) ja cos(ωt). Laajemmin ne voidaan esittää kompleksien eksponentiaalifunktioina e^{iωt} ja muodostaa lineaarisia yhdistelmiä superpositionin avulla.

Keskeisiä ominaisuuksia ovat säännöllisyys (jakso T = 2π/ω sinille ja cosille) sekä superpositio-oikeus: toisten aaltifunktioiden summa on myös aaltifunktio(lineaarisissa järjestelmissä). Ne ovat ratkaisuja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin, kuten f''(t) = -ω^2 f(t), mikä kuvaa vaimentamatonta harmonista liikettä. Myös avaruudessa funktiot kuten sin(kx) ja cos(kx) täyttävät d^2/dx^2 f = -k^2 f, tehden niistä Laplacin 1D:n eigenfunktioita.

Fourier-analyysissä aaltifunktiot muodostavat signaalien esittämisen perusjoukon: monet signaalit voidaan kirjoittaa sinien ja cosien joukkona (Fourier-sarjat ja Fourier-transformaatiot). Tämä hajotelma on keskeinen signaalinkäsittelyssä, akustiikassa ja optiikassa.

Sovellukset vaihtelevat from ääni- ja elektromagneettisten aaltojen mallinnuksesta aalto-yhtälöiden ratkaisemiseen fysiikassa ja tekniikassa. Ne esiintyvät myös kvanttimekaniikassa aaltoina Schrödingerin yhtälössä joissakin esitystavoissa.