Összeszámlálhatatlanok

Összeszámlálhatatlanok az olyan halmazok neve, amelyeket nem lehet egyetlen természetes számmal bijekcióval párosítani. Más szóval ezeknek a halmazoknak a mérete nem írható le azzal a fogalommal, hogy végtelen és számlálható. A kifejezést leggyakrabban a halmazelméletben használják, ahol a kardinalitás (méret) fogalma alapján különbséget tesznek a halmazok között.

A halmazok méretének három fő osztálya van: végesek, összeszámlálható végtelenek (countably infinite) és összeszámlálhatatlanok. Például az N (természetes számok) és a Q (racionális számok) összeszámlálhatók, míg az R (valós számok) összeszámlálhatatlan. Cantor diagonális bizonyítása kimutatja, hogy N és R között nincs bijekció; azaz R összeszámlálhatatlan.

Példák és megfigyelések: a Cantor-halmaz (például a [0,1] intervallum) összeszámlálhatatlan, mégis Lebesgue-mérete nulla. Az N-hez tartozó P(N) – a naturális számok hatványhalmaza – szintén összeszámlálhatatlan, mert 2^{aleph0} mérettel bír, amely szigorúan nagyobb, mint aleph0. A Continuum hipotézis azt vizsgálja, vajon a valós számok kardinalitása aleph1-e, azaz van-e közvetlen kapcsolat az első végtelen kardinalitás és a folytonos halmaz mérete között.

Összegzésképp az „összeszámlálhatatlanok” kifejezés a halmazelmélet egyik alapfogalma, amely segít megkülönböztetni a különböző végtelenek típusait és ezek tulajdonságait.