kardinalitása

Kardinalitása, magyarul kardinalitás, a halmaz méretének fogalma. Egy véges halmaz esetén |A| a halmaz elemeinek száma. Végtelen halmazoknál a kardinalitás nem egy konkrét szám, hanem azzal jellemzett mennyiségek közötti összehasonlítás eszköze: két halmaz A és B ugyanolyan kardinalitású, ha közöttük bijekció létezik.

A végesség és a végtelenség megkülönböztetése mellett a kardinalitási számítást a sorolhatóság és az equinumerizmus alapján végzik. A természetes számok halmazának kardinalitása ℵ0 (aleph-null). Egy halmaz sorolható, ha kardinalitása ℵ0-hoz hasonló, például ℕ, ℤ és ℚ mind ekvivalensek ℵ0-hoz. A valós számok halmaza valószínűleg nagyobb kardinalitású: kardinalitása 2^ℵ0, amit gyakran continuum-nak neveznek. Ezek közül a halmazok uncountable-ek.

Kardinalitásokkal végzett műveletek is értelmezettek: összeadás, szorzat és hatványozás. Végtelen kardinalitások esetén teljesen általános, hogy κ + λ = max{κ, λ} és κ · λ = max{κ, λ}, ha legalább az egyik érték végtelen és a másik nem zérus. A kardinal exponentiation κ^λ sokszor bonyolultabb, és gyakran függ bizonyos axiomsoktól.

Történeti oldalról Cantor vezette be a kardinalitás elméletét a 19. század végén, a bijekciók és az equinumeráció alapjain. A fogalom ma a halmazelmélet központi eleme, és a méretbeli családok rendezésére szolgál. Magyar nyelvű kontextusban a kardinalitás és kardinalitása a halmazok méretét jelöli |A| vagy card(A) formában.