Énpunktkompaktifikasjon

Énpunktkompaktifikasjon, eller Alexandroff-kompaktifikasjon, er en topologisk konstruksjon som gir et ikke‑kompakt lokalt kompakt rom en kompakt utvidelse ved å legge til ett ekstra punkt, ofte kalt uendelig eller ∞.

La X være et ikke‑kompakt lokalt kompakt rom som er Hausdorff. Den enpunktkompaktifikasjonen X* er definert som X ∪ {∞} og fås med følgende toppologi: et sett U er åpent i X* hvis U ⊆ X og åpent i X, eller hvis ∞ ∈ U og X \ (U \ {∞}) er kompakt i X. Med andre ord er åpne naboer til ∞ de av typen {∞} ∪ (X \ K) hvor K er kompakt i X. X inngår dermed som åpent underrom i X*, og ∞ fungerer som et ekstra punkt som “gir uendelig”.

Egenskaper: X* er kompakt. Hvis X er Hausdorff, er X* også Hausdorff. Når X ikke er kompakt, gir denne utvidelsen et kompakt rom som inneholder X som åpent underrom og ∞ som en ny grensepunkt. En følge i X konvergerer til ∞ i X* dersom den forlater hver kompakt delmengde av X, dvs. blir ute av enhver kompakt del av X etter hvert. For metriske rom er denne konvergensbeskrivelsen spesielt naturlig: avstanden til hvert gitt kompaktsubsett går til uendelig.

Eksempler: Den enpunktede kompaktifikasjonen av ℝ er homeomorf til sfæren S^1; generelt gir ℝ^n en hjemmetermed S^n. For et uendelig diskret sett X er X* et kompakt rom hvor åpne naboer til ∞ er av typen {∞} ∪ (X \ F) med F en endelig delmengde av X (da alle endelige delmengder er kompakte i diskrete rom).

Begrensninger og forhold: konstruksjonen forutsetter at X er lokalt kompakt og ikke‑kompakt, og at X er Hausdorff for at X* skal være Hausdorff. Hvis X ikke oppfyller disse kravene, kan X* miste egenskapene som kompakt eller Hausdorff. Se også: Alexandroff-kompaktifikasjon.