véletlenvektort

A véletlenvektor egy olyan többváltozós véletlen jelenség, amelynek komponensei egy közös valószínűségi ősén definiált véletlen változók X1, X2, ..., Xn. Ezt gyakran X = (X1, X2, ..., Xn)ᵀ-vel jelöljük, és a véletlenvektor értelmezhető olyan leképezésként, amelyΩ → R^n. A komponensek lehetnek függetlenek vagy egymástól függőek, és a vektor teljes eloszlását a közös eloszlás határozza meg.

Az X-nek közös eloszlása van, amelyet a koordinátáira vett összefüggések írnak le. Ha X abszolút módon folytonos, létezik sűrűség f_X(x), és P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx. Normál esetben a vektor eloszlása meghatározható a sűrűség vagy a fajlagos eloszlásfüggvény segítségével. A várható érték E[X] a komponensek várható értékének vektora, azaz E[X] = (E[X1], ..., E[Xn])ᵀ. A Cov(X) = E[(X - μ)(X - μ)ᵀ] a kovariancia-mátrix, amely a komponensek közötti összefüggéseket és varianciákat rögzíti.

Lineáris transzformációk: ha Y = AX + b, ahol A m×n-es tábla és b ∈ R^m, akkor E[Y] = Aμ + b, Cov(Y) = A Cov(X) Aᵀ. Ha X X ∼ N(μ, Σ) eloszlású, akkor Y is többváltozós normális eloszlású az adott transzformáció alapján.

A véletlenvektor fontos eszköz a multivariáns statisztikában, időbeli folyamatok leírásában és a változók közötti összefüggések vizsgálatában.