vektorterekben

Vektortérnek vagy vektortereknek nevezzük azt a nem üres halmazt V, amelyen két művelet van definiálva: hozzáadás ( + ) és skalárszorozás ( · ), és amelyeket egy adott test F felett értelmezünk (gyakran a valós R vagy a komplex C számok). A műveleteknek meg kell felelniük az axiómáknak: van 0 vektor és minden vektornak van additív inverze, az összeadás kommutatív és asszociatív, a skalárszorozás kielégíti a disztributív törvényeket és az egységaksiomát (1·v = v).

Példák: a valós n-dimenziós tér R^n a standard műveletekkel; a polinomok halmaza F[x]; a folytonos függvények C[a,b]; a mátrixok halmaza is vektortér a megfelelő műveletekkel.

Alrészhalmaz (alsó tér): egy nem üres részhalmaz W ⊆ V, amelyre zártak a hozzáadás és a skalárszorozás műveletei; ekként W is vektortérként értelmezhető saját műveleteivel.

Bázis és dimenzió: egy B ⊆ V olyan halmaz, amely lineárisan független és minden vektort a V-ből kifejezhet a B elemeinek lineáris kombinációjaként. A B mérete a tér dimenziója. Véges dimenzió esetén bármely vektortér bázisai ugyanakkora méretűek.

Lineáris transzformációk: f: V → W, amely megőrzi a hozzáadást és a skalárszorozást. A kernel azokat az elemeket tartalmazza, amelyeket zérusra képez, az image pedig a transzformált elemek halmaza. A rang-nullitás tétel szerint dim ker f + dim im f = dim V.

További szerkezetek: belső szorzat nélkül is vektortér, de belső szorzat esetén hossz és szög értelmezhető; norma adhat topológiát és mérhető mennyiségeket is. Vektorterek a lineáris algebra alapvető építőkövei.