vektoriavaruutujen

Vektoriavaruutujen käsite viittaa matemaattisiin rakenteisiin, joissa on kaksi operaatio: vektoreiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku. Ne muodostavat abelian ryhmän yhteenlaskun suhteen ja ovat sulkeutuneet sekä yhteenlaskulle että skalaarikertolaskulle, sekä täyttävät yhteensopivuus- ja distributiivisuusaakioomat. Vektoriavaruutu määritellään usein yhden joukon V ja sen perusjoukkona käytettävän skaalaarijoukon F ympärillä, joka on kenttä (yleisiä esimerkkejä ovat reaali- ja kompleksiluvut). Operaatioita noudatetaan siten, että (F, +, *) vaikuttavuus säilyy, ja niiden avulla V:stä voidaan muodostaa lineaarisia yhdistelmiä ja tutkia vektorisia ominaisuuksia.

Kantaa ja dimensioa koskevat keskeiset käsitteet ovat basis ja dimensio. Basis on joukko vektoreita, jotka ovat lineaarisesti riippumattomia ja joiden späni riittää koko V:lle. Basis antaa koordinaatiston V:ssä ja antaa dimensio: basisin koon. Mikäli basis ajateltiin olevan lopullinen, puhutaan neliulotteisesta tai yleisemmin finite-dimensiosta; suuret tai äärettömän suuret vektoriavaruutut voivat olla infinite-dimensionaalisia. Jokaisella vektorivaruutulla on ainakin yksi basis, ja dimensiota voidaan käyttää vektoriavaruutun koon mittana.

Subavaruudet ja lineaariset kartat ovat olennaisia rakenteita. Subavaruudet ovat V:n osajoukkoja, jotka ovat itsessään vektoriavaruutuja. Lineaariset kartat (translatiot) T: V→W säilyttävät vektorin yhteenlaskun ja skalaari- kertolaskun. Tällaiset kartat voidaan esittää matriiseina, ja ne johtavat käsitteisiin kuten kernel, image ja rank-nullity -relaatio. Vektoriavaruutujen teoria yhdistää geometrian ja algebraan sekä toimii perustana monille sovelluksille, kuten fysiikassa, tietojenkäsittelyssä ja tilastotieteessä.