vektorfunksjoner

En vektorfunksjon er en funksjon som tilordner hver verdi av et reelt parameter t en vektor i R^n. Ofte skrives r(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)), der hver xi er en skalarfunksjon av t. Vektorfunksjoner brukes til å beskrive parametriske kurver i plan eller i rom. Domene for t er vanligvis et intervall, for eksempel [a, b] eller (a, b), og kan også være hele R.

Derivasjon og integrasjon av vektorfunksjoner skjer komponentvis. Dersom r er differensierbar, er r'(t) = (x1'(t), x2'(t), ..., xn'(t)). Integrasjon av en vektorfunksjon gjøres derfor komponentvis: ∫ r(t) dt = (∫ x1(t) dt, ∫ x2(t) dt, ..., ∫ xn(t) dt).

Arc length av kurven mellom t = a og t = b er s = ∫_a^b ||r'(t)|| dt, hvor ||·|| er normen til vektoren. Hastigheten langs kurven er v(t) = r'(t), og akselerasjonen er a(t) = r''(t) der denne er definert.

Eksempel: I planet kan r(t) = (cos t, sin t) beskrive en enhetskrets når t varierer over hele R. Da r'(t) = (-sin t, cos t) og ||r'(t)|| = 1.

Anvendelser inkluderer fysikk for posisjon, hastighet og akselerasjon, samt datagrafikk og robotikk gjennom parametriske kurver. Vektorfunksjoner er sentrale i analyse og geometrisk beskrivelse av bevegelser og former, og de kan kobles til andre representasjoner av kurver i rommet.