variatsiooniprobleemide

Variatsiooniprobleemid on matemaatikas ja füüsikas esinevate probleemide klass, kus eesmärgiks on leida funktsioon või funktsioonide hulk, mis minimeerib või maksimeerib teatud integraali, mida nimetatakse funktsionaaliks. Need probleemid tekivad sageli füüsikast, kus paljud looduslikud seadused on sõnastatud selliselt, et need vastavad mingi füüsikalise suuruse, näiteks energia või tegevuse, ekstreemumile.

Tuntuim näide variatsiooniprobleemist on geodeetilise joone leidmine. Geodeetiline joon on lühim võimalik tee kahe punkti vahel kaardistatud pinnal. See on variatsiooniprobleem, sest otsime funktsiooni (tee), mis minimeerib tee pikkuse funktsionaali. Teine oluline rakendus on mehhaanikas, kus Newtoni liikumisseadused saab tuletada variatsiooniprintsiipidest, nagu näiteks Hamiltoni printsiip, mis ütleb, et füüsikalise süsteemi tegelik trajektoor on see, mille korral süsteemi tegevus (samuti teatud funktsionaal) on ekstreemne.

Variatsiooniprobleemide lahendamiseks kasutatakse erinevaid matemaatilisi meetodeid, millest peamine on Euleri-Lagrange'i võrrand. See on diferentsiaalvõrrand, mille lahendus annab funktsionaali ekstreemumit tekitava funktsiooni. Variatsioonikalkulus on uurimisala, mis keskendub nende probleemide teoreetilisele ja praktilisele lahendamisele. Variatsiooniprobleemid on leidnud rakendusi paljudes teadusvaldkondades, sealhulgas optikas, elastsusteoorias ja kvantmehaanikas.