valószínségelméletben

Valószínűségelmélet a véletlen jelenségeket leíró és egységes matematikai keret. Az 1930-as években Kolmogorov axiomatizálta: a kimenetek halmazára valószínűségi mérték rendelhető úgy, hogy a teljes tér valószínűsége 1, és diszjunkt események összege adja meg a valószínűséget. Ez formalizálta a megfigyelések és a modellek közötti összefüggéseket.

Formailag egy valószínűségi tér (Ω, F, P): Ω a kimenetek, F egy σ-algebra az események gyűjteménye, P pedig a valószínűségi mérték. A véletlen változó X Ω→R, amely meghatározza az eseményekhez rendelt számértékeket; eloszlása leírható eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűséggel. Diszkrét eloszlások például Bernoulli, Binomial, Poisson; folyamatos eloszlások pedig Normális, Exponenciális, Gamma vagy más eloszlások.

Fő fogalmak közé tartozik a függetlenség, a feltételes valószínűség és a Bayes-tétel. A várható érték és a variancia a véletlen változó jellemzői; kovariancia és korreláció mérik a több változó közötti kapcsolatokat.

Az alapvető eredmények közé tartozik a nagy szám törvénye és a középfokú (centrális) határelmélet, amelyek sok próbálkozásból adódó viselkedést írják le. A folyamatok között megtalálhatók a Markov-láncok és a Brown-szabályos mozgást modellező folyamatos időbeli folyamatok; ezek gyakori eszközök fizikai, biológiai és gazdasági alkalmazásokban.

Általános alkalmazások: statisztika, gépi tanulás, pénzügyi modellezés, kockázatkezelés és tudományos kutatások. A terület továbbra is aktív kutatási terület, különösen adatelemzés és komplex rendszerek modellezése terén.