transzíciómátrixszal

A transzíciómátrixszal (angolul transition matrix vagy stochastic matrix) a valószínűségszámításban és a lineáris algebrában használt, négyzet alakú mátrix, amely egy diszkrét idejű Markov-lánc állapotváltásainak valószínűségeit írja le. A mátrix minden eleme, $P_{ij}$, azt a valószínűséget jelenti, hogy egy rendszer az $i$ állapotból a $j$ állapotba jut a következő időpillanatban.

A transzíciómátrix négyzet alakú, azaz sorainak és oszlopainak száma megegyezik, és ez a szám a Markov-láncban lehetséges állapotok számával egyenlő. A mátrix minden eleme 0 és 1 közötti valós szám. Fontos tulajdonsága, hogy minden sor összege 1. Ez azt fejezi ki, hogy egy adott állapotból kiindulva valamelyik lehetséges állapotba (beleértve önmagát is) át kell jutnia a rendszernek.

Ha egy Markov-lánc kezdeti állapoteloszlását egy valószínűségvektorral jelöljük, akkor a következő időpillanatbeli állapoteloszlást a kezdeti eloszlásvektort a transzíciómátrixszal való szorzással kaphatjuk meg. Ha a mátrixot önmagával megszorozzuk, megkapjuk a két lépésnyi időeltolódás transzíciómátrixát, és így tovább. Hosszú távon a Markov-lánc viselkedését gyakran a transzíciómátrix magas hatványai írják le, ami a rendszert egy stacionárius eloszláshoz vezethet.

A transzíciómátrixokat számos területen alkalmazzák, például a fizikai rendszerek modellezésében, a biológiai folyamatok elemzésében, a pénzügyi piacok vizsgálatában, valamint a számítógéptudományban, például a PageRank algoritmusban.