transportsekvationer

Transportsekvationer är en klass av partiella differentialekvationer som beskriver hur en kvantitet, till exempel temperatur, koncentration eller trafikantal, transporteras av ett flöde. Den enklaste formen är den linjära advektionsekvationen: ∂t u + v · ∇u = 0, där u(t,x) är den transporterade kvantiteten och v(x,t) är flödets hastighet.

En alternativ form är konserveringsformen ∂t u + ∇·(v u) = 0. Om flödets divergence är noll är dessa formuleringar ofta ekvivalenta. Lösningar uppkommer ofta längs karakteristiker, kurvor som följer dx/dt = v, längs vilka värdet av u förblir konstant i den enkla advektionens fall. När v varierar i rymden eller tiden blir analysen mer intrikat och kräver generella metoder för hyperboliska system eller konservationslagar.

I praktiken används ofta kombinationer av advektion och diffusion: ∂t u + v · ∇u = D Δu + S, där D är en diffusionskoefficient och S en källa eller sink. I vissa fall är problemen nonlinear, exempelvis Burgers’ ekvation ∂t u + u ∂x u = 0, vilket illustrerar hur vågor och skarptågiga funktioner kan utvecklas. Transportsekvationer används även i kombination med kemiska reaktioner eller källtermer.

Villkor och väl-posedness: Problem specificeras av initialvillkor u(x,0) = u0(x) och lämpliga randvillkor vid domänens gränser. Eftersom transportsekvationer ofta är hyperboliska krävs lämpliga stabila tidssteg och randvillkor. Numeriskt används ofta upwind- eller volymbaserade metoder under CFL-villkoret för att få fysiskt rimliga lösningar.

Användningsområden inkluderar meteorologi, oceanografi, miljövetenskap, trafikplanering, kemisk teknik och biologiska transportprocesser.