transitiomatriiseista

Transitiomatriisi on matemaattinen työkalu, jota käytetään kuvaamaan tilamuutoksia lineaarisissa järjestelmissä. Se on erityisen hyödyllinen diskreettiaikaisissa järjestelmissä, joissa järjestelmän tila päivittyy ajan funktiona. Transitiomatriisi yhdistää järjestelmän tilan yhdessä aikapisteessä sen tilaan seuraavassa aikapisteessä. Jos järjestelmän tila hetkellä $t$ on vektori $x(t)$ ja seuraavalla hetkellä $t+1$ tila on $x(t+1)$, niin transitiomatriisi $A$ toteuttaa yhtälön $x(t+1) = A x(t)$.

Transitiomatriisin elementit riippuvat järjestelmän dynamiikasta. Ne kuvaavat, miten kukin tilaelementti vaikuttaa muihin tilaelementteihin seuraavassa aikapisteessä. Esimerkiksi populaatiodynamiikassa transitiomatriisi voisi kuvata, kuinka eri ikäryhmien populaatiokoot muuttuvat seuraavan sukupolven aikana ottaen huomioon syntyvyyden ja kuolevuuden. Taloudellisissa malleissa se voi kuvata, kuinka pääoma siirtyy eri sektoreiden välillä.

Transitiomatriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit antavat tietoa järjestelmän pitkän aikavälin käyttäytymisestä. Jos kaikki ominaisarvot ovat itseisarvoltaan pienempiä kuin yksi, järjestelmä konvergoi kohti tasapainotilaa. Jos jokin ominaisarvo on suurempi kuin yksi, järjestelmä voi olla epästabiili ja kasvaa eksponentiaalisesti. Transitiomatriisin avulla voidaan myös laskea järjestelmän tila kauempana tulevaisuudessa korottamalla matriisia sopivalla potenssilla.