todistuslaskennan

Todistuslaskennan ala tutkii muodollisten todistusten muodostamista ja tarkistamista säännöstettyjen oikeus- tai laskentaperusteiden avulla. Sen tavoitteena on varmistaa, että johtopäätökset seuraavat loogisesti annetuista aksioomista ja määritelmistä. Keskeisiä käsitteitä ovat muodolliset todistusjärjestelmät, kuten Hilbert-tyyliset järjestelmät, luonnollisen todistuksen järjestelmät sekä sekventtijärjestelmät, sekä todistusten rakennetta valottavat menetelmät kuten taulukot ja erilaiset todistuspuut. Todistuslaskenta tutkii myös tehokkuutta ja päätöksellisyyttä sekä teoreettisia ominaisuuksia kuten pätevyys ja täydellisyys sekä leikkaussäännön kaltaisia muuntelutoimia, joiden avulla todistuksia voidaan muokata säilyttäen pätevyys.

Taidollinen kehitys 1900-luvulla yhdisti logiikan ja laskennan: klassiset tulokset Hilbertin ohjelmasta ja Gentzenin työstä luonnollisen todistuksen ja leikkausten poistamisen alueella ovat keskeisiä. Nykyään todistuslaskenta yhdistyy tekoälyyn ja tietojenkäsittelytieteeseen: sitä sovelletaan matemaattisten todistusten formalisoimiseen, ohjelmistojen oikeellisuuden varmistamiseen sekä automaattiseen todistamiseen. Käytännön työkalut, kuten todistusavustajat, sekä SAT- ja SMT-sovellukset, tukevat sekä ihmisen että koneen todistusprosessia. Tutkimus etenee sekä teoreettisellä että käytännön tasolla, pyrkien entisestään tehostamaan todistusten ja niiden tarkastelun menetelmiä.