tilfældighedsproces

En tilfældighedsproces, eller stochastic proces, er en samling af tilfældige variable X_t, der er indekseret af tid eller rum og beskriver, hvordan en tilfældig størrelse udvikler sig over tid. En proces optræder som funktion af et udgangspunkt ω fra et sandsynlighedsrum (Ω, F, P) og giver for hver tidsværdi t i et indeksmængde T en værdi X_t(ω) i et tilstandsområde S. Ofte behandles T som enten diskret (f.eks. T = {0, 1, 2, …}) eller kontinuerligt (T ⊆ [0, ∞)). Tilstandsområdet S kan være tælleligt eller et kontinuum af værdier.

Tilfældighedsprocesser modellerer udviklingen af fænomener, hvor udfaldet er påvirket af tilfældighed, såsom aktiekurser, ventetider, signaler eller fysiske systemer. Et centralt element er de marginale og fælles fordelinger af de værdier, der optræder på forskellige tidspunkter, ofte beskrevet gennem finite-dimensional fordelinger.

Nogle vigtige begreber er stationaritet, hvor distributionerne ikke ændrer sig over tid, og afhængighedsstruktur, som beskriver, hvor meget fremtidige værdier afhænger af fortiden. En særlig vigtig egenskab er Markov-egenskaben: givet nutiden er fremtiden uafhængig af fortiden.

Kendte eksempler inkluderer diskrete Markov-kæder, Poisson-proces (antallet af hændelser i et tidsrum), Brownian motion (Wiener-proces) og generelle Gaussian-processer. Anvendelserne spænder fra finansiering og signalbehandling til queueing-teori og natur- og samfundsvidenskab.

Analyse af tilfældighedsprocesser bruger forventning, varians, kovarians og forskellige konvergensbegreber, samt metoder som simulering og teoretiske resultater for at studere deres egenskaber og anvendelsespotentiale.