tilavuuspotentiaali

Tilavuuspotentiaali on potentiaali, joka liittyy tilavuuden sisällön tiheyteen ja jota käsittelee usein potentiaaliteorian ja Poissonin yhtälön yhteydessä. Matematiikassa tilavuuspotentiaali V(x) määritellään tilavuuden Ω ⊂ R^n sisällön tiheyden f(y) avulla konvoluutiona Laplaceen Greenin funktion kanssa: V(x) = ∫Ω G(x, y) f(y) dy. Greenin funktio G riippuu ongelman geometriasta ja rajoitusoloista. Esimerkkinä kolmiulotteisessa tilassa (R^3) käytetty Newtonin Greenin funktio on G(x, y) = 1/(4π|x − y|).

Tilavuuspotentiaalin yhteydessä esiintyy Poissonin yhtälö. Jos V lasketaan tilavuudesta, jonka tiheys on f, niin V täyttää yleensä ΔV = -f tietyin rajoituksin, esimerkiksi koko R^3:n tapauksessa. Ulkopuolella tiheydestä V on harmoninen (ΔV = 0) ja V:llä on usein määritelty käyttäytyminen äärettömyydessä. Gradien kautta tilavuuspotentiaal tarjoaa myös kentän: ∇V(x) = ∫Ω f(y) ∇_x G(x, y) dy.

Ominaisuudet ja käyttö. Tilavuuspotentiaali parantaa säännöllisyyttä suhteessa tiheysfunktioon: jos f kuuluu tietyllä L^p- tai Sobolev-tilaan, V kuuluu vastaaviin tiloihin paikallisesti. Se on yleisesti käytössä elektrostaticsissa ja gravitaatiopotentiaalin laskennassa sekä erilaisissa virtaus- ja materiaalitieteellisissä malleissa. Tilavuuspotentiaali voidaan ratkaista sekä analyttisesti että numeerisesti käyttäen esimerkiksi integraalimuotoisia menetelmiä tai rajan- ja potentiaalimetodeja.

Näkökulmia. Tilavuuspotentiaal liittyy läheisesti Newtonin potentiaaliin, Poissonin yhtälöön ja Greenin funktioihin, ja sen ymmärtäminen on keskeistä sekä teoria- että sovellusalojen laskennallisissa malleissa.