tiheysjakaumat

Tiheysjakaumat (tiheysoperaattorit) ovat kvanttimekaniikan tilan kuvaus, jolla voidaan kuvata sekä puhtaita että epävarmoja tiloja. Ne edustavat tilan tilasto- tai tilanhajonnan kokonaisuutena ja toimivat yleisesti piirrettynä työkaluna odotusarvojen laskemiseen. Pelkistyneet tilat voidaan esittää tiheysoperatorina ρ, joka toimii suurijärjestelmän Hilbert-kontekstissa. ρ on itseadjonti, positiivisesti semipositiivinen ja sen tracelle on yksi: Tr(ρ) = 1.

Puhtaat ja epäpuhtaat tilat: Jos järjestelmä on selvän puhdas, ρ^2 = ρ ja ρ on projektiivinen tila yksittäisessä tilassa |ψ⟩, eli ρ = |ψ⟩⟨ψ|. Epäpuhtaissa tiloissa ρ ei ole idempotentti ja voidaan esittää sekoituksena: ρ = ∑_k p_k |ψ_k⟩⟨ψ_k|, missä p_k ovat klassisia todennäköisyyksiä.

Odotusarvot ja mittaukset: Yleinen odotusarvo tilalta A on ⟨A⟩ = Tr(ρA). Tiheysjakauma sisältää sekä tilan sisäisen epävarmuuden että mahdollisen sekoituksen aitoa tilaa kuvatessa. Mittauksia varten käytetään projektorimekanismia tai Kraus-operaattoreita, ja post-mittaus tila saadaan ρ’ = (P_i ρ P_i)/Tr(P_i ρ), mikä noudattaa Bornin sääntöä.

Aikasuunta ja vuorovaikutukset: Vuorovaikutuksen ja ajan kehittymisen kuvaamiseen käytetään von Neumannin yhtälöä iħ dρ/dt = [H, ρ]. Avoimissa järjestelmissä sovelletaan lisäyksiä, kuten Lindbladin master-yhtälö.

Sovellukset: Tiheysjakaumia käytetään laajasti kvanttietäviin, decoherenceiin, termisiin tiloihin ja kvanttibitien kuvaamiseen. Ne myös yhdistävät kvanttihaarukan ja klassisen epävarmuuden käsitteet yhtenäisen tilan kuvaamisen välineenä.