Hilbertkontekstissa

Hilbertkontekstissa viitataan usein tilaan, jossa kohdataan Hilbertin avaruuden ominaisuudet. Hilbertin avaruus on täydellinen reaalinen tai kompleksinen vektoriavaruus, jossa on määritelty sisätuote. Sisätuotteen kautta määrittyy normi ja etäisyys, ja parallelogrammin laki toteuttaa normin geometrisen rakenteen. Täydellisyys tarkoittaa, että jokainen Cauchy-jono konvergoi avaruudessa. Näin Hilbertin avaruudet yhdistävät lineaarisen algebran ja analysin geometrian.

Esimerkkejä ovat R^n standardi Hilbertin avaruus, l^2-tila ja L^2[a,b]-tila. Ortogonaalinen perusta mahdollistaa vektoreiden johdonmukaisen kuvauksen; jokainen vektori voidaan laajentaa ortonormaaliin perusjoukkoon, ja Parsevalin identiteetti toteaa, että jäsenten neliöiden summa vastaa ko. vektorin normaalia. Rieszin esitys­teoreeman mukaan jokainen jatkuva lineaarinen funktio H → F voidaan esittää sisätuotteen avulla.

Keskeisiä ovat lineaariset rajoitetut operatorit sekä niiden adjointit. Itseadjointit, unitaari- ja kompaktit operatorit liittyvät spektriteoreemaan, joka antaa mahdollisuuden käsitteellistää operatorin vaikutusta sen spektrin kautta. Hilbertin avaruudet muodostavat tärkeän kieliopin analyysissä ja sovelluksissa.

Sovelluksia ovat kvanttimekaniikka, signaalinkäsittely (esim. Fourier- ja wavelet-analyysejä varten), sekä ratkaisujen lähestymistavat osittaisdifferentiaali- ja epälineaarisiin ongelmiin sekä numeerisessa lineaarialgebrassa.