tihedusfunktsioonist

Tihedusfunktsioon (probability density function, PDF) kirjeldab pideva juhusliku muutuja X tõenäosust, et X võtab mingi väärtuse x. Funktsioon f: R → [0, ∞) on mitte-negatiivne ja mõõdetav ning taandub ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1. Tõenäosus, et X on vahemikus (a,b), on ∫_{a}^{b} f(x) dx.

Tõenäosusjaotust kirjeldab samaaegselt ka tihedusfunktsiooniga seotud CDF F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. F on suurenev ja parempoolselt pidev; tihedusfunktsioon f on F' peaaegu kõikjal. Tihedusfunktsioonid on tihti kirjutatud koos piiride, lubades tihti osalisi tugi (toetuse), kus f(x) > 0.

Näited tihedusfunktsioonidest hõlmavad näiteks standardset normaaljaotust f(x) = (1/√(2π)) exp(-x^2/2), ühtlane jaotus f(x) = 1/(b−a) x ∈ [a,b], vastasel juhul 0, ning eksponentsiaaljaotus f(x) = λ e^{-λ x} x ≥ 0. Tihedusfunktsioonid võivad esineda ka mitme mõõtmise puhul (kasutatakse kogutud tihedust joint density g(x,y) jt) ning tihedus võib muutuda transformatsiooni korral, kus Y = g(X) korral h(y) = f(g^{-1}(y)) |d/dy g^{-1}(y)|.

Kasutusalad hõlmavad tõenäosuste arvutamist, oodatud väärtuste leidmist ja tihedusteenuste abil arutuste, nagu E[g(X)] = ∫ g(x) f(x) dx, kui g on sobivaga integrable. Tihedusfunktsioonide kontseptsioon eristab pidevatest ja diskreetsetest jaotustest (diskreetne vastab massiifunktsioonile, mitte tihedusfunksioonile).