tidskonvolusjon

Tidskonvolusjon er en matematisk operasjon som beskriver hvordan et signal blir påvirket av et system over tid. For kontinuerlige tidsverdier er konvolusjonen definert som y(t) = ∫_{-∞}^{∞} x(τ) h(t−τ) dτ, mens for diskrete tidsverdier er den y[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} x[k] h[n−k]. Her representerer x inngangssignalet og h impulssvaret til systemet; y er utgangssignalet. Impulssvaret h er systemets respons på et dirac-pulsinnslag og fullt ut beskriver hvordan et LTI-system oppfører seg.

Tenkningen bak tidskonvolusjon er at hvert tidspunkt i utgangssvevet er en vekingssum av tidligere og samtidige verdier av inngangssignalet, hvor vektene bestemmes av impulssvaret og time-shiften t−τ eller n−k. Hvis systemet er kausal, avhenger utgangen av inngangen bare for nåværende og tidligere tider. Konvolusjonen kan derfor ses både som en tilpassing av systemets respons til innkommende signal og som en måte å filtrere eller glatte signalet på.

Egenskaper og forhold til frekvensområdet: konvolusjon er lineær og tidsinvariant. Konvolusjon i tiddomenet tilsvarer multiplikasjon i frekvensdomenet, slik at Y(ω) = X(ω)·H(ω). Dette gjør konvolusjonen sentral i filterdesign og signalbehandling. Anvendelser inkluderer lyd- og bildedspilling, støyreduksjon, lydreverberasjon og andre filtreringsoperasjoner, ofte beregnet effektivt ved bruk av FFT for lange signalkonvolusjoner. Konvolusjon kan generaliseres til flere dimensjoner, blant annet for tids- og romlige signaler.