teoremleri

Teoreemi on matemaattinen väite, jonka todenperä on osoitettu todistuksella. Teoreemit ovat matematiikan rakennuspalikoita ja ne voivat olla yleisiä tai koskea tiettyä rakenteellista tilannetta. Niiden avulla voidaan johtaa uusiin tuloksiin ja muodostaa loogisen kokonaisuuden.

Todistus on looginen argumentti, joka perustuu perusaksonomioihin ja määritelmiin. Se osoittaa, että väite on totta kaikissa tapauksissa, joita todistus tarkastelee. Todistukset voivat olla suoraviivaisia tai käyttää erilaisia todistusmenetelmiä, kuten induktiota tai todistamista vastakkaisella ospressillä sekä perussääntöjen soveltamista.

Esimerkkejä tunnetuista teoreemeista ovat Pythagoraan lause, joka sanoo, että suorakulmaisen kolmion sivujen suhde toteuttaa a^2 + b^2 = c^2 (kun c on hypotenuusa). Fermatin viimeinen lause osoittaa, ettei x^n + y^n = z^n olevaan yhtälöön ole kokonaislukujen ratkaisuja n > 2. Se todistettiin vasta vuonna 1994 Andrew Wilesin toimesta. Tämänkaltaiset teoreemit voivat erota todistuksellisesti, mutta kaikissa tapauksissa ne ovat osoitettuja väitteitä.

Teoreemien yhteydessä käytetään usein lemmas (apulauseita) sekä seuraus (seuraajia), jotka seuraavat pääteoreemista ilman uutta todistusta. Lauseet, teoreemit ja niihin liittyvät konstruktiot muodostavat todistamisen perusrakenteen, joka mahdollistaa matemaattisen tiedon systemaattisen laajentamisen.

Historian näkökulmasta teoreemit ovat olleet keskeisiä jo antiikin ajoista, ja ne muodostavat nykyaikaisen matematiikan perustan; niiden jatkuva todistaminen ja todellisuudemonstrointi on osa matemaattisen tieteen jatkuvaa kehitystä.