számsorozat

A számsorozat egy olyan elemek rendezett listája, amelynek elemei a természetes szám indexek szerint vannak hozzárendelve. Ha a (a_n) n≥1 sorozatot jelöljük, akkor minden n-hez értéket rendelünk: a_1, a_2, a_3, … . Az a_n lehet valós vagy komplex szám is; a számsorozat általában valamilyen szabály alapján definiált.

Jellemző fogalmak közé tartozik a konvergencia, a határérték, a korlátosság és a monotonitás. A számsorozat akkor konvergens, ha létezik egy L valós szám, amelyhez a_n → L, amikor n növekszik. Ha nincs ilyen L, a sorozat divergál. Korlátos, ha van olyan M, hogy |a_n| ≤ M minden n-re. Monotonitás szerint lehet növekvő vagy csökkenő: a_n ≤ a_{n+1} (növekvő) vagy a_n ≥ a_{n+1} (csökkenő).

Két alapvető típus a számsorozatok között a Arithmetikai és a Geometriai sorozat. Arithmetikai sorozat esetén a_n = a_1 + (n-1)d, ahol d a konstans különbség. Geometriai sorozat esetén a_n = a_1 r^{n-1}, ahol r az arány. A határértékek szempontjából fontos, hogy ha |r|<1, akkor a_n → 0; ha |r|≥1, a sorozat általában divergens vagy nem korlátozott.

Példák: aritmetikai a_n = 3 + 2(n-1) = 2n+1; geometriai a_n = 7 · (1/2)^{n-1} → 0; a_n = n divergens, mivel növekszik és nem korlátozott.

Alkalmazások közé tartozik a határértékek vizsgálata, numerikus módszerek és modellalkotás, ahol sorozatokkal közelítjük vagy modellezzük a folyamatokat.