szekvenciák

A szekvencia olyan matematikai objektum, amely természetes számokra rendeli az elemeket egy adott halmazból. Formálisan egy (a_n) jelölésű sorozat, ahol n ∈ N és minden n-hez egy alaphalmazbeli elem tartozik. A szekvencia lehet végtelen hosszú vagy véges; a végtelen szekvenciáknál a sor rendezése és a következő elemek megadása a fontos.

Jellemző példák közé tartoznak az aritmetikai és a geometriai szekvenciák. Aritmetikai szekvenciában a n-edik tag a_n = a_1 + (n-1)d, ahol d a közös különbség. Geometriai szekvenciában a_n = a_1 r^{n-1}, ahol r a közös arány. A leghíresebb rekurzív példa a Fibonacci-szekvencia: a_1 = 1, a_2 = 1, és minden n ≥ 3-ra a_n = a_{n-1} + a_{n-2}.

Konvergencia és divergensia: egy szekvencia lim tính határértéket vehet fel. Ha létezik L, úgy mondjuk, hogy a_n → L, és a szekvencia konvergens. Ha nincs határérték, vagy a határérték végtelen, akkor a szekvencia divergál. Eltérő tulajdonságok lehetnek például monotone (nem csökkenő vagy nem növekvő) és/vagy korlátozott szekvenciák; bizonyos esetekben alhalmazokból konvergens rész-szekvenciákat találhatunk.

Kapcsolat a sorozatokkal: a szekvencia elemeinek összegzésével sorozatot kapunk, amelyet S_N = a_1 + ... + a_N formában írhatunk. Szélesebb értelemben a szekvenciák fontosak analízisben, valószínűségben, számítástudományban és időbeli adatsorok modellezésében, ahol a mintázat, a stabilitás és a közelítés kulcsfogalmak.