støttfunksjonen

Støttfunksjonen, eller støttfunksjonen til en ikke-tom konveks mengde K i R^n, er en viktig størrelse i konveks analyse. For et K = K ⊆ R^n som er ikke- tomt og konvekst, defineres støttfunksjonen som h_K: R^n → R ∪ {+∞} ved h_K(u) = sup { u · x : x ∈ K }, der u er en vektor og «·» betyr indreprodukt. Hvis K er kompakt, er h_K(u) alltid endelig for alle u; ellers kan supen være +∞ for visse retninger.

Egenskaper og bruk

Støttfunksjonen er sublineær: h_K(αu + βv) ≤ α h_K(u) + β h_K(v) for α,β ≥ 0, og den er positivt homogen: h_K(αu) = α h_K(u) for α ≥ 0. Den er kontinuerlig hvis K er kompakt, og jevnlig (lipschitz) på mengder med begrenset diameter. Støttfunksjonen inneholder informasjon om K via støtteplaner: for enhver retning u eksisterer det ofte et punkt x ∈ K som maksimerer u · x, og den linjen som støtter K ved x har ligningen u · x = h_K(u).

En viktig identitet er at K kan gjenopprettes fra sin støttfunksjon: K = { x ∈ R^n : u · x ≤ h_K(u) for alle u ∈ R^n }. Dette følger av separasjonsteoremer og er grunnleggende i dualitet og optimering.

Relasjoner og eksempler

Støttfunksjonen h_K er også den konjugerte av indikatorfunksjonen til K: h_K = δ_K^*, hvor δ_K(x) = 0 hvis x ∈ K og +∞ ellers. For K som inneholder origo i interior, kan man i tillegg relatere h_K til polarsammensetningen: K^◦ = { u : h_K(u) ≤ 1 }.

Eksempler: For K = {x0}, h_K(u) = u · x0. For K = ballen med radius 1, h_K(u) = ∥u∥. For et rektangel og andre polytopiske sett blir h_K ofte bestemt av maksimum av lineære funksjoner.